GAMES101-22：动画2

发表于 2023-08-14 更新于 2024-04-21 分类于 GAMES101 Disqus：本文字数： 1.5k

前言

GAMES101-22:单粒子的运动的模拟方法（欧拉与其各种改进）、刚体模拟、流体模拟、网格法与质点法处理大量物体的移动问题

考虑一个粒子在速度场中速度随着时间的变化的模拟。即算常微分方程 $\dot{x} = v(x,t)$

简单而基础的方法：（前向）欧拉方法

x^{t+\Delta t} = x^t + \Delta t \dot{x}^t \\ \dot{x}^{t+\Delta t} = \dot{x}^t + \Delta t \ddot{x}^t

其中右上角只是标记，不是指数；而一个点表示一次求导（即速度）。这种方式用上一帧的数据计算下一帧的数据。其问题在于：

不准确在 CG 中往往可以理解容忍，但是不稳定、无论如何都得不到准确的结果是难以接受的。这种不稳定现象是欧拉方法试图用数值方法解微分方程的必然结果。

下面是一些解决了不稳定性的方法。

这样，中点法取了一个中间、更能代表平均运动方向的速度。

如果我们将中点法的公式推出来，那么，我们会发现中点法更准确的原因在于它引入了二阶导，而不是普通欧拉的一阶导。

这种办法步长可变，所以能模拟得很好。

使用下一帧的速度而不是上一帧的速度。

x^{t+\Delta t} = x^t + \Delta t \dot{x}^{t+\Delta t} \\ \dot{x}^{t+\Delta t} = \dot{x}^t + \Delta t \ddot{x}^{t+\Delta t}

在实际情况中速度和加速度之间的关系往往并不是那么好直接解出。往往可能需要求根公式等导致速度会比显示慢得多————当然，也变得稳定得多。

通过中点法我们已经知道阶数越高效果越好。而龙格-库塔方法是一系列解常微分方程的很好的方法（同样基于欧拉），其中四阶的龙格库塔方法（RK4）最常用，它形如

x_{n+1} = x_n + \frac{1}{6}h(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + 4k_4) \\ t_{n+1} = t_n + h

其中四个 k 是四个关于 x、t 的函数，懒得记了，用到再说。

对推导感兴趣的话请学习数值分析。

不基于物理的方法难以保证能量守恒，但是又快又简单。

参见作业 8.

通常我们不关心单步的误差（局部误差）和整体误差的值是多少，但是会关心它们和步长之间的关系。

以隐式欧拉为例，步长为 h，整体误差是 $O(h)$ ，局部误差是 $O(h^2)$ ，即如果步长减少一半，那么可以期望整体误差变为原来的一半，而局部误差可以期望变为原来的四分之一。

刚体即不可变形的物体，刚体的模拟本质上就是一个大单体粒子的模拟。当然我们还需要考虑一些其他的属性，例如：

我们通过模拟小的刚体球（粒子）近似水体；并且认为水的密度是不变的，如果某处的密度改变了，那么就通过修正粒子的位置来进行修正。

物理模拟和渲染是有前后的两步，所以近似为小球不影响渲染。

每个粒子都可以对空间中的任意一点的密度产生影响。因此，为了达到“改变粒子的位置使得此处的密度降低”的目的，我们就需要知道密度对于所有粒子的位置的导数梯度。然后应用梯度下降法即可。（即改变对此处密度影响最大的粒子的位置）

以防万一：梯度是导数下降最快的方向。

这种模拟是不基于物理的，例如我们直接改了粒子的位置。当然为了避免水的运动停不下来，我们也可以加入能量衰减的公式。

见笔记1。

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