GAMES101-4：视图和投影变换

发表于 2023-03-18 更新于 2024-04-21 分类于 GAMES101 Disqus：本文字数： 1.1k

前言

GAMES101-P4：视图变换和投影变换（正交投影、透视投影）。透视投影部分内容在原视频P5

如何拍一张照片：MVP变换

Model Transformation:摆好位置

View Transformation：找好拍照角度

Projection Transformation：拍照。

思考：任何情况下进行拍照，照片都只和物体相对于相机的坐标有关。

所以建立一个新的坐标系（相机坐标系）规定

将坐标转换：

求此处旋转矩阵，可以求坐标轴旋转为相机轴的旋转矩阵，然后转置。

两种投影方式：

透视投影更接近人眼成像，会有“近大远小”、“平行线相交于一点”等效果。

在如下图所示的模型中，透视事实上就是拍下了锥形视野内的 [n,f] 内的一段区间内的物体，正交则是相机处于无限远处的一个特例。

正交和透视

构建相机坐标系
构建一个包含所有物体的空间立方体，描述它为 $[l,r]×[b,t]\times [f,n]$ 的一个立方体（左右下上远近）。是由远及近是由于右手坐标系且看向 -Z 方向导致远处 Z 坐标更小。
将结果规范化在一个 $[\pm1,\pm1, \pm1]$ 的方块内

矩阵形式：中心移至原点，再缩放

M_z=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{b+t}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

正交和透视

对如上图的透视，定义近平面 n 和远平面 f，有：

这里有一个需要注意的地方是，挤压以后，坐标的 Z 轴值“可能”会发生变化。对此我们规定：

正交和透视

对于任意的点 $(x,y,z)$ ，对应到一个 n 平面上的点 $(x',y',z')$ 。相似三角形有

\begin{align} y' =\frac{n}{z}y\\ x'=\frac{n}{z}x \end{align}

接下来求解 Z 轴的变换方程，即矩阵的第三行。

假设变换矩阵为 M，有：

M(x,y,z,1)^T=(\frac{n}{z}x,\frac{n}{z}y,z_1,1)^T=(nx,ny,z_2,z)^T

其中 $z_1,z_2$ 未知。

$z_1$ 的值的变换向量是 M 矩阵中的第三行，所以可以只关心第三行。又因为 Z 坐标值显然和 XY 没有关系，所以此行可以写为 $(0,0,A,B)$ 其中 A、B 未知。

n 平面上的点满足变换矩阵且 Z 坐标不变。所以 n 平面上的坐标可以写成 $(x,y,n,1)^T$ 。同时乘以坐标 n，代表的点依然不变： $(nx,ny,n^2,n)^T$ 。

所以有 $(0,0,A,B)(x,y,n,1)^T=n^2$

f 平面同样中点 $(0,0,f,1)$ 满足变换矩阵且 Z 坐标不变。于是

(0,0,A,B)(0,0,f,1)^T=f^2

于是可以联解

\begin{align} An+B =n^2\\ Af+B =f^2 \end{align}

得

\begin{align} A = n+f\\ B = -nf \end{align}

所以解出 Z 轴变换方程值， M 矩阵

\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

我们通常认定近、远平面的深度（z轴）是已知的，所以现在的问题是如何描述近平面：

指定近平面四个点的坐标
指定宽高比和可视角度。下图为 y 轴可视角度的表示，根据 y 轴可视角度和宽高比可以求出 x 轴的可视角度

两种表示是可以互相转换的，如下：

其中近平面的范围为 $[\pm r,\pm t]$ ，aspect 为宽高比。