GAMES101-3：变换

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前言

GAMES101-P3：基本线性变换（旋转、缩放、切变）和平移、仿射变换矩阵、齐次坐标、三维变换中的旋转问题。

对图形进行各种变换，可以相当于对其左乘对应矩阵。

基本线性变换

  1. 缩放矩阵
    [sx00sy]\begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix}

  2. 切变 （Shear） 矩阵:
    [1a01]\begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

    切变的本质就是将矩形变成平行四边形。坐标不变的一条边称之为依赖轴，变换称之为方向轴。下图为一个 y 为依赖轴的例子：101-shear

  3. 旋转：旋转点通常是原点。[cosθ−sinθsinθcosθ]\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

    对旋转矩阵，其反方向旋转的对应矩阵为其逆矩阵同时也是转置矩阵。

齐次坐标和仿射变换

使用 n+1n+1 维坐标表示 nn 维坐标。其中，对于点，记为 (x,y,1)T(x,y,1)^T，对于向量，记为 (x,y,0)T(x,y,0)^T

由于平移，不能写成左乘形式进而与其余变换统一。所以我们引入齐次坐标，使得平移矩阵为
[10tx01ty001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

思考：为什么向量和点的第三维不一样？

对于向量，具有平移不变性，我们不希望其左乘平移矩阵得到的结果是新的向量，对于点的想法则相反。因此向量的最后一维应为 0 使得其不受平移矩阵影响。

进一步地，有：

  • 向量 + 向量 = 向量
  • 向量 + 点 = 点
  • 点 - 点 = 向量
  • 点 + 点 = 二者中点
  • ……

可以发现向量为 0 而点为 1 的情况对于上述现象也可以解释得很好。

仿射变换

定义仿射变换：仿射变换 = 线性变换 + 平移。

使用齐次坐标可以表示仿射变换。齐次坐标等于多个线性变换矩阵、平移变换矩阵左乘后的结果。

M=[abtxcdty001]M=\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

其中 a,b,c,da,b,c,d 表示旋转、缩放、切变，tx,tyt_x,t_y 表示平移。

逆矩阵

对于仿射变换矩阵 M，定义逆矩阵：

MM−1=EMM^{-1} = E

其中 E 为单位矩阵。

M 的逆矩阵恰好对应原来仿射变换的逆变换。

特别地，对于旋转变换，其逆矩阵和转置矩阵相同，使得求其逆变换变得方便。逆矩阵等于转置矩阵的矩阵被称为正交矩阵。

矩阵不满足交换律，变换也不满足交换律。变换的顺序很重要。

绕任意点的旋转

设任意点为 P，将旋转分解为：把 P 平移回原点、旋转 α 度、平移 P 回 P 点。

于是有变换矩阵：

T=T(P)T(α)T(−P)T = T(P)T(\alpha)T(-P)

(注意顺序是由右到左表示的)

三维变换

对于三维变换，可以简单地写出缩放和平移，重点关注旋转。

绕轴旋转

考虑简单的旋转：绕一个轴在一个平面内旋转。

Rx=[10000cos⁡α−sin⁡α00sin⁡αcos⁡α00001]R_x=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Ry=[cos⁡α0sin⁡α00100−sin⁡α0cos⁡α00001]R_y=\begin{bmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Rz=[sin⁡αcos⁡α00cos⁡α−sin⁡α0000000001]R_z=\begin{bmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

请注意 y 轴中 sinαsin\alpha 的正负号与其他情况不同。

这是因为旋转矩阵的循环对称性。即 xyzxyz 的矩阵循环中，一个的值等于前面两个的值相乘。所以对 R_y 有 Rz×Rz=RyR_z \times R_z = R_y 而非相反。

绕任意轴旋转

对于任意角度的过原点轴，可以把它分解为三个轴上的角度（欧拉角）。变成三个轴的变换矩阵的乘积。

对绕任意轴 nn 旋转 α\alpha 角，有 Rodrigues’ Rotation Formula 如下：

R(n,α)=cos⁡(α)I+(1−cos⁡(α))nnT+sin⁡(α)N\bold{R}(\bold{n},\alpha) = \cos(\alpha)\bold{I}+(1-\cos(\alpha))\bold{n}\bold{n^T}+\sin(\alpha)\bold{N}

其中

N=[0−nznynz0−nx−nynx0]\bold{N}=\begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{bmatrix}

其中，称 N\bold{N} 为 n 的反对称矩阵，也就是向量 n 的叉积（n⃗×a⃗\vec{n}\times\bold{\vec{a}} ）的矩阵形式。

对于任意不过原点的旋转，把其分解为平移原点、旋转、平移回去的过程。

引入四元数是为了更好地对旋转进行插值，关于四元数，另行参考。

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